Speaker
Description
При описании сред с ползучестью согласно линейной теории ползучести Вольтерра, применимой к широкому перечню материалов с аморфной и гетерогенной структурой, возникают операторы интегрального типа, которые дают эффект памяти среде [1]. В первых приближениях ядро интегрального оператора представимо в виде суммы из экспонент с разными коэффициентами в степени или же в виде сингулярного ядра абелевского типа.
Некоторое время назад в работах авторов [2] были обоснованы существование решения и его единственность в классическом и сильных смыслах. Отсюда возникает необходимость предложения алгоритма численного решения для волнового уравнения с эффектом памяти.
В настоящей работе на примере одномерной задачи предлагается требуемый метод. В случае экспоненциальных ядер с помощью выделения отдельных слагаемых в ядре интеграла и разделения переменных исходное уравнения представляется в форме системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Для уравнения с ядром абелевского типа после аналогичных действий возникает дробная производная по времени.
Для выписанной системы предложен и реализован алгоритм численного решения с аппроксимацией пространственной части по схеме Лакса Вендроффа. При численном приближении дробной производной по времени в случае ядра интегрального оператора типа Абеля возникает необходимость интегрирования по всем предыдущим временным слоям для переменных описывающих память материала.
Алгоритм реализован в одно- и двухмерном случаях на языках Python и C++. Проверены аппроксимация и устойчивость. Численно определён порядок сходимости для полученных схем.
Литература:
Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций, - М. Изд. “Наука”
Власов В. В., Раутиан Н. А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 28, Изд-во Моск. ун-та, М., 2011, 75–113; J. Math. Sci. (N. Y.), 179:3 (2011), 390–414
| Секция конференции | Методы вычислительной алгебры и решения уравнений математической физики |
|---|
