Speaker
Description
Уравнение Шредингера и более общее уравнение Гинзбурга-Ландау можно представить в виде, формально совпадающем с уравнением теплопроводности, но с комплексной искомой функцией, комплексными коэффициентами и нелинейной правой частью специального вида. Каждое слагаемое оператора Лапласа в ортогональных координатах можно выразить через ``сложные вторые'' производные вида $Lu=(1/a)(au')'$, которые аппроксимируются разностными аналогами
$$
\Lambda u(x)=\frac{1}{a(x)} \frac{c(x+h/2) \Delta_+- c(x-h/2) \Delta_-}{h^2}u(x),
$$
где зависимость коэффициентов $c$ от функции $a$ и шага $h$, называемую шаблонным функционалом, удается выбрать так, чтобы выполнялось специальное разложение $\Lambda=L+(h^2/12)L^2+O(h^4)$. С такими специальными аппроксимациями построение компактной схемы проводится так же, как в декартовых координатах, поскольку ключевым при построении является именно указанное выше разложение, справедливое для обычных разностных аналогов вторых производных.
В докладе рассматриваются также вопросы преодоления проблемы нелинейности в правой части, способы постановки и реализации граничных условий в полюсах координатных систем в общем и симметричном случае, результаты тестирования компактных схем и сравнение их с классической схемой второго порядка точности.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-11-20040, https://rscf.ru/project/20-11-20040/).
| Секция конференции | Методы вычислительной алгебры и решения уравнений математической физики |
|---|
