Speaker
Description
В области $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ рассматривается однородная задача Дирихле с правой частью в виде дельта-функции Дирака. Задачи такого рода играют существенную роль в различных областях науки, в частности, в теории электродинамики. Данный класс задач стал активно рассматриваться с 60-х годов прошлого века. Основная теория представлена Бабушкой в работе [1].
Показано, что решение задачи $u \notin H^1_0(\Omega)$. Строится обобщенная постановка задачи с использованием двух гильбертовых пространств Соболева с дробными показателями, и затем показывается разрешимость, единственность и оценка устойчивости обобщенного решения. Дискретное подпространство $V_h$ состоит из непрерывных кусочно-линейных функций, определенных на триангуляции области с учетом условия Дирихле. В соответствии с теоремой разрешимости в конечномерных подпространствах (см. [1] т. 6.2.1) и результатами работы [2] была показана разрешимость конечномерной задачи, и выведена оценка погрешности решения.
Для конечномерной задачи с искомыми и пробными функциями из $V_h$ была построена общая система линейных уравнений, было получено численное решение задачи. Модельная задача задается в круге c центром в нуле радиуса $r=1$. Дельта-функция Дирака сосредоточена в точке $(0,0)$. Решением будет функция Грина в виде фундаментального решения оператора Лапласа. При помощи пакета FreeFem++ [3] было построено численное решение на сеточной области, и, в соответствии с дискретизацией, был проведен анализ численного и теоретического результатов сходимости численного решения к точному.
Список литературы
[1]. A.K.Aziz, I. Babushka. The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with
Applications to Partial Differential Equations. Academic Press, Inc. 1972
[2]. R. Scott. Finite Element Convergence for Singular Data. // Journal of Numerical Mathematics. 21, 317–327. 1973
[3]. F. Hecht. New development in FreeFem++. // Journal of Numerical Mathematics. 20(3-4), 251-266. 2012
| Секция конференции | Методы вычислительной алгебры и решения уравнений математической физики |
|---|
