В докладе рассматривается первая краевая задача для линейной многомерной дифференциально-алгебраической системы. Под дифференциально-алгебраическими системами понимаются системы уравнений в частных производных с тождественно вырожденной матрицей при старшей производной. Такие задачи имеют обширную область применения. Они возникают, например, при описании процессов тепломассообмена в...
В наземной электроразведке используют нестационарный режим генераторной катушки, при котором поведение напряженности электромагнитного поля описывается уравнением второго порядка по пространству и по времени. Эффективными методами решения нестационарных уравнений являются неявные схемы, которые для поиска решения на очередном временном слое используют результаты, полученные на предыдущих...
Рассматривается процесс стекания тонкого слоя жидкости по наклонной неравномерно нагреваемой подложке. Математическое моделирование основано на классических уравнениях конвекции и обобщенных для ненулевого потока пара кинематическом, динамическом и энергетическом условиях на границе раздела сред. Величина локального потока массы пара на границе раздела определяется с помощью уравнения...
Одним из популярных уравнений, описывающим многие нелинейные волновые процессы в теоретической и математической физике, является уравнение Клейна-Гордона (УКГ). Наиболее изученными примерами такого класса уравнений являются уравнение синус-Гордона (УСГ) и фи4. Для использования УКГ в реальных физических приложениях, обычно возникает необходимость его модифицировать. Например, путём добавления...
Рассматривается модель фокусирующего одномерного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) в присутствии нестабильного постоянного фона, на котором могут существовать когерентные волновые структуры— бризеры. В рамках метода обратного рассеяния (МОЗР) исследуется задача численного получения данных рассеяния для широкого класса бризеров, локализованных в пространстве. Это называют прямой задачей...
При моделировании взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса со стеклами в расчетах необходимо задавать этот импульс с помощью начальных или граничных условий. Параметры реальных экспериментов таковы, что использование гауссовых импульсов, которые широко и успешно применяются при моделировании более продолжительных и менее сфокусированных импульсов, невозможно. Необходимо рассчитывать...
Решение краевых задач для уравнения Гельмгольца для сферы известно в виде разложения по сферическим гармоникам, для нахождения которых необходимо определить коэффициенты разложения функции граничного условия по сферическим функциям.
В данной работе решения внутренних и внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в сферической области представлены в интегральной форме,...
УДК 550.831+838
В работе рассматривается проблема однозначного определения фундаментального решения сеточного аналога уравнения Лапласа в рамках теории дискретного гравитационного потенциала. Сеточное фундаментальное решение конечно-разностного аналога уравнения Лапласа играет ключевую роль при восстановлении непрерывно распределенного источника гравитационного или магнитного поля по...
Метод частиц — это численный метод, используемый для моделирования больших систем, основывающийся на лагранжевом описании. В частности, разрывный метод частиц является представителем типа «частица-частица» и включает два основных этапа: предиктор и корректор.
На этапе предиктора происходит перемещение частиц. Затем, на этапе корректора, выбирается соседняя частица, которая оказывает...
В работе предложен оригинальный подход вычисления решения двумерного уравнения неразрывности на вычислительной сетке, состоящей из двух частей, в которых используются разные шаги по времени. Главная особенность описанного подхода состоит в методе вычисления численного решения в узлах, находящихся на стыке границ двух сеток. Теоретически обосновано, что разработанный метод имеет первый порядок...
В работе представлен численный алгоритм решения уравнений Навье-Стокса, описывающий двумерное течение вязкого теплопроводного газа. В работе для аппроксимации полной (субстанциональной) производной по времени в каждом уравнении системы используется метод траекторий, заключающийся в аппроксимации этой производной с помощью разностной производной назад по времени вдоль траектории движения...
Уравнение Шредингера и более общее уравнение Гинзбурга-Ландау можно представить в виде, формально совпадающем с уравнением теплопроводности, но с комплексной искомой функцией, комплексными коэффициентами и нелинейной правой частью специального вида. Каждое слагаемое оператора Лапласа в ортогональных координатах можно выразить через ``сложные вторые'' производные вида $Lu=(1/a)(au')'$,...
Рассматриваются блочные итерационные методы в подпространствах Крылова для решения трёхмерной задачи Стокса, аппроксимируемой на разнесённых параллелепипедальных структурированных сетках. Предобуславливатель исходной СЛАУ строится на основе алгоритма неполной факторизации с применением приближённой ленточной обратной матрицы Шура и экономичной модификации Айзенштата для векторного оператора...
Рассматриваются итерационные предобусловленные методы в подпространствах Крылова для решения квазилинейных алгебраических уравнений, получаемых из аппроксимации трехмерных нестационарных краевых задач на неструктурированной сетке для системы дифференциальных уравнений Кана-Хиллиарда, описывающих течение несмешивающихся двухфазных или трехфазных сред в геофизическом керне. Исходные...
Рассматриваются итерационные методы декомпозиции областей в подпространствах Крылова для решения сеточных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) высокого порядка с разреженными матрицами, возникающими при аппроксимациях многомерных краевых задач. Исследуются алгоритмы построения предобуславливающих матриц на основе неполной факторизации с диагональной компенсацией, базирующейся на...
Для вычисления решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами $Au=f$, главным средством являются итерационные методы в подпространствах Крылова. Пусть $u^n$ – некоторое приближенное решение исходной системы, а $d^n=u–u^n$ – его поправка, которую будем искать в подпространстве $K_m(r,Ar^n,…,A^{m-1}r^n)$, где $r^n=f–Au^n$ – невязка, порождаемая приближенным решением. Численная...
Рассматриваются итерационные методы в подпространствах Крылова для решения трёхмерной задачи с оператором Лапласа, аппроксимируемой на кубических неструктурированных сетках. Предобуславливатель исходной СЛАУ строится на основе рекурсивных алгоритмов и структур данных для построения операторов многосеточного метода неполной факторизации. Обсуждается реализация рекурсивных алгоритмов и структур...
При моделировании фильтрации в поровых средах на основе закона Дарси и закона сохранения масс получаем эллиптическую краевую задачу для вычисление поля давления, которая решается методом конечных элементов (МКЭ). Из-за использования специальных краевых условий на скважинах для учета гидростатического давления матрица получаемой СЛАУ становится несимметричной. После расчета поля давления...
Проведен сравнительный анализ точности решения, скорости сходимости и вычислительной эффективности трех численных методов: метода конечных элементов (МКЭ), метода коллокаций и наименьших квадратов (МКНК) и метода дискретной ортогонализации С.К. Годунова (МДО) при решении краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрены разрешающие...
В [1, 2] показано, что при расчете задачи SCSW (Special Cauchy for Shallow Water) с гладкими периодическими начальными данными немонотонная схема Русанова [3] имеет в областях влияния ударных волн на несколько порядков более высокую точность, чем схемы WENO5 [4] и A-WENO [5]. Однако в гладких частях точного решения задачи SCSW, не входящих в области влияния ударных волн, точность схемы...
Проведен сравнительный анализ точности разностных схем TVD [1] второго порядка, Русанова [2] третьего порядка и A-WENO [3] пятого порядка по пространству и третьего порядка по времени при расчете задачи Коши для системы уравнений мелкой воды с разрывными начальными данными, точное решение которой содержит центрированную волну разрежения и не содержит ударную волну. Показано, что внутри...
Метод регуляризации плохо обусловленных систем, основанный на предположении о гладкости решения, был предложен С. К. Годуновым в 1988г. (см. [1,2]). Он применяется в данной работе в гибридной задаче аппроксимации и интерполяции сеточной функции, т.е. для определения её значений на узлах мелкой сетки, если она изначально задана на более крупной. Гладкость получаемой аппроксимации регулируется...
При распространении волн на продолжительные времена, а также при достижении континентального склона, где уменьшаются глубины, возникают эффекты нелинейности и дисперсии, что стало причиной разработки нелинейно-дисперсионных (НЛД-) моделей, которые, в отличие от классических уравнений мелкой воды, учитывают частотную дисперсию. В настоящем исследовании основное внимание уделено SGN-модели Серре...
Сейсмическая разведка является одним из широко используемых методов поиска месторождений углеводородов. Она основана на явлении распространения сейсмических волн в неоднородной геологической среде, сопровождаемом формированием отражённых волн.
Для описания процесса динамического нагружения геологического массива широко используется модель акустической среды и модель линейно упругой среды....
Сейсморазведка играет важную роль в задаче поиска месторождений газа и нефти. Одно из направления анализа сейсмических данных связано с анизотропными эффектами, которые позволяют получать информацию о трещиноватых включениях в породах. Целью данной работы является численное исследование анизотропии скорости распространения упругих волн в среде, содержащей трещины. Для численного решения...
Рассматривается задача приближённого вычисления вектора $A^{-1}b$, где $A$ — вещественная симметричная невырожденная матрица размера $n\times n$, а $b$ — ненулевой вектор размера $n$, с помощью базового крыловского метода — метода Ланцоша. Наша теорема из статьи 2002 года содержит оценку невязки на $m$-ом шаге Ланцоша в терминах ограниченного самосопряжённого оператора в гильбертовом...
Принято считать, что схема стабилизирующей поправки с центральными разностями по пространственным переменным для уравнения переноса в 3-мерном случае является условно устойчивой. В настоящей работе показано, что эта схема абсолютно неустойчива, но область неустойчивых гармоник в пространстве волновых векторов и величина их инкрементов быстро стремятся к нулю при стремлении параметра Куранта к...
Решение уравнений сплошной среды в цилиндрической и сферой системе координат в окрестности оси конечно-разностными методами представляет известные трудности. В докладе описаны различные подходы к их преодолению. Эти трудности связаны с аппроксимацией непосредственно на оси членов уравнений, содержащих особенности, и устойчивостью конечно-разностной схемы по отношению к уменьшающимся при...
В настоящей работе рассматривается актуальная задача моделирования температурных характеристик термошкафа РизурБокс с пассивным обогревом за счет тепловой мощности нефтегазоводяной смеси в трубопроводе. Термошкафы РизурБокс применяются для защиты оборудования от воздействия низких температур, конденсата, атмосферных осадков, пыли, химикатов, физических повреждений, несанкционированного...
Исследуется нелинейное распределение тепла в прямолинейном однородном стержне при наличии внешнего нестационарного источника нагрева или охлаждения. Методами анализа симметрии найдены все основные модели общей модели, обладающие различными свойствами симметрии. Дальнейшее исследование посвящено модели, допускающей наиболее широкую группу преобразований Ли по сравнению с другими базовыми...
Исследуется система уравнений мелкой воды с прямолинейным наклонным дном, для которой матрица Якоби зависимых переменных относительно независимых переменных вырождена. Этот случай ранее никем не изучался. Мы получили все такие решения системы. Каждое решение для конкретных значений его параметров иллюстрируется графиком распределения превышения свободной поверхности над дном и графиком...
Исследуется модель нелинейного продольного динамического деформирования вязкоупругого стержня со степенной зависимостью напряжения от деформации и скорости деформации. Эта модель задается нелинейным дифференциальным уравнением с частными производными третьего порядка. Найдена основная группа Ли преобразований этого уравнения. Для этой модели найдены все инвариантные подмодели. Для всех этих...
Виртуальный метод конечных элементов (VEM) появился сравнительно недавно как результат развития классического МКЭ и mimetic finite difference (MFD). В данном методе используются два функциональных пространства: физическое и виртуальное. Вид специальных вспомогательных функций физического пространства уникален для каждой математической модели. В общем случае данные функции не являются...
В области $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ рассматривается однородная задача Дирихле с правой частью в виде дельта-функции Дирака. Задачи такого рода играют существенную роль в различных областях науки, в частности, в теории электродинамики. Данный класс задач стал активно рассматриваться с 60-х годов прошлого века. Основная теория представлена Бабушкой в работе [1].
Показано, что решение...
Рассматривается решение ряда статических задач электромагнитной теории [1] с помощью двух новых схем метода конечных элементов [2,3]. Ажурная схема [2] продемонстрировала своё высокое качество и эффективность при решении большого количества нестационарных динамических задач теории упругости и пластичности, а также реализована для решения статических задач теории упругости. Моментная схема [3]...
Применение для решения уравнений в частных производных, таких как нелинейные уравнения теплопроводности, уравнения Навье-Стокса, уравнения Лиувилля-Брату-Гельфанда и других, дискретизация по пространству приводит к большой системе нелинейных дифференциальных уравнений по времени. Для решения таких систем предлагается вариант итерационного метода типа релаксации формы волны. В этих методах...
В работе рассматривается ситуация, часто возникающая при моделировании процессов, протекающих в цилиндрических и сферических областях, когда помимо условий на границе области неявно подразумевается условие ограниченности в ее центре. Это условие должно учитываться при получении дискретной модели. Один из вариантов решения этой проблемы для дискретизации с помощью коллокационных матриц...
При описании сред с ползучестью согласно линейной теории ползучести Вольтерра, применимой к широкому перечню материалов с аморфной и гетерогенной структурой, возникают операторы интегрального типа, которые дают эффект памяти среде [1]. В первых приближениях ядро интегрального оператора представимо в виде суммы из экспонент с разными коэффициентами в степени или же в виде сингулярного ядра...
Описывается алгоритм морфинга, пополнивший технологию построения трехмерных структурированных сеток [1], предназначенную для численного решения дифференциальных уравнений, моделирующих вихревые процессы многокомпонентной гидродинамики [2]. Алгоритм морфинга предназначен для построения структурированных сеток особой структуры в объемах, полученных деформацией объемов вращения телами,...
При проектировании крупных полупогруженных в воду прибрежных сооружений необходимо учитывать возможность воздействия на них длинных поверхностных волн типа цунами. Для численного моделирования применяется иерархический подход [1, 2] ‒проведение сравнительных расчетов в рамках иерархии математических моделей различных приближений. Одной из них является полностью нелинейная 3DFNPF-модель...
При моделировании кинетики химических реакций, расчете электронных схем и электрических сетей и в других важных приложениях возникает необходимость решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для решения таких задач целесообразно применять L-устойчивые численные схемы. Однако в наиболее распространенных методах интегрирования, как правило, обеспечивают...
Для численного решения уравнений математической физики все чаще стали использоваться вычислительной алгоритмы, основанные на использовании химерных сеток [1] при построении сложных расчетных областей. В настоящей работе проведено компьютерное моделирование распространения волнового сигнала в рельсе сеточно-характеристическим методом высокого порядка аппроксимации с использованием алгоритма...
Рассматривается дифференциальное уравнение вынужденных колебаний струны, имеющей конечную длину. Вынуждающей сила задаётся в виде известной функции, содержащей одну гармонику от времени движения струны. Под монотонной устойчивостью колебаний струны понимается монотонное уменьшение амплитуды колебаний модуля разности решений, описывающих вынужденные и свободные колебания, наблюдаемые в...
В настоящее время важное значение имеют результаты моделирования и прогнозирования процессов нефтедобычи. Процесс переноса фаз в реализованном методе моделирования является одним из ключевых этапов, однако он также занимает значительную долю времени выполнения симуляции. Его ускорение способно сэкономить значительное количество времени.
В качестве математической модели используется система...
Представлена схема четвертого порядка по пространству и времени для уравнения Блэка-Шоулза, основанная на тождестве Марчука. Для интегрирования по времени полученной схемы используется явный метод Рунге Кутты. Приведено подробное описание схемы и численные тесты чтобы подчеркнуть эффективность метода.
Список литературы.
- Black, F., and Scholes The pricing of options and corporate...
В настоящей работе рассматривается актуальная задача моделирования тепловых потерь в составной конструкции теплоизоляционного окна, в наружной и внутренней створках которого установлены однокамерный и двухкамерный стеклопакеты. На первом и втором этапах моделируется процесс распространения тепла внутри однокамерного и двухкамерного стеклопакетов с формулами остекления 4M1-16-4M1 и...
