Speaker
Description
Метод случайного блуждания по сферам эффективен при решении краевых задач для эллиптических и параболических уравнений с постоянными коэффициентами. За счет уменьшения радиусов сфер блуждания удается решать также задачи для уравнений с переменными коэффициентами [1]. Главная особенность метода случайного блуждания по сферам – это возможность находить решение в отдельных точках без построение сетки. К недостаткам метода относится низкая скорость сходимости. Уменьшение статистической погрешности численного решения в 10 раз требует увеличение числа случайных траекторий в 100 раз.
В настоящее время в новосибирской группе методов Монте-Карло интенсивно развиваются гибридные методы, основанные на комбинировании глобальных стохастических алгоритмов и методов итерационного уточнения [2,3]. В настоящей работе строится метод итерационного уточнения в комбинации с одним специальным вариантом глобального алгоритма, основанном на использовании интеграла Пуассона для задачи Дирихле
\begin{equation}
\Delta u(\mathbf{x}) =-f(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in V; \quad
u(\mathbf{y}) = g(\mathbf{y}), \quad \mathbf{y} \in \partial V.
\end{equation} С помощью алгоритма итерационного уточнения и полиномиальной аппроксимации решения нам удалось добиться экспоненциальной скорости сходимости, что кардинально повышает точность вычислений.
Работа выполнена при поддержке РНФ, грант 214-11-00107.
[1] K. Sabelfeld and I. Aksyuk. Random walk on small spheres method for solving drift-diffusion-reaction problems with spatially varying velocity and reaction rate, Monte Carlo Methods and Applications, v.32, N 2, 159-170.
[2] Sabelfeld K.K., Markevich M.Yu. Random walk algorithms with iterative refinement for calculating particle fluxes to small and remote boundary areas.Monte Carlo Methods and Applications, vol. 32, N 1 (2026), 49–67.
[3] K. Sabelfeld, G. Agarkov. Random Walk on Spheres Method with Iterative
Refinement for Solving Interior and Exterior Dirichlet Problems for the Poisson Equation. Journal of Numerical Mathematics, 2026, submitted.
