Speaker
Description
Решение нелинейных кинетических уравнений, описывающих процесс переноса, осуществляется методом Монте-Карло с моделированием нелинейного Пуассоновского точечного процесса взаимодействий частиц – элементов процесса. В ряде случаев может быть эффективным (в смысле трудоемкости и простоты реализации) N-частичный алгоритм, для построения которого рассматривается ансамбль из N частиц, взаимодействия между которыми реализуются таким образом, что соответствующая одночастичная плотность сходится к решению уравнения Больцмана при N → ∞. Следует отметить, что, по-видимому, такой алгоритм решения уравнения Больцмана явился основой для построения общего подхода к формулировке N-частичных алгоритмов решения нелинейных задач, который получил название «игра среднего поля» (mean field game).
Численные эксперименты, проведенные в работах авторов настоящей статьи, показали, что в тестовых задачах теории разреженных газов и распространения эпидемий смещение N-частичной оценки функционала от решения базового уравнения имеет порядок величины 1/N. В связи с этим возникло предположение о том, что это смещение связано с осреднением коррелированных значений вследствие взаимодействия траекторий. Это можно пояснить тем, что стандартная статистическая оценка дисперсии D смещена на величину D/N.
В известной монографии Г.Крамера приведено более общее утверждение о порядке O(1/N) смещения достаточно гладкой функции H(m), где m – центральный (относительно предельного значения) выборочный момент. Для этого требуется условие |H| < C $N^p$, p>0. Поэтому в данной работе используется ограничение: если базовая переменная V < s, то V:= s, и предполагается непрерывность H относительно «s-хвоста» распределения V (которая проверяется зависимыми испытаниями). Это позволяет обобщить теорему Г.Крамера, например, для статистических оценок в теории разреженных газов.
Исследования выполнены в рамках государственного задания ИВМиМГ СО РАН FWNM-2025-0002.
