Speaker
Description
В последние годы алгоритмы, основанные на методах случайного блуждания по границе (Random Walk on Boundary (RWB)) и методах блуждания по сферам (Random Walk on Spheres (RWS)), активно применяются для решения задач теории потенциала. Однако их область применения традиционно считалась ограниченной, главным образом классами краевых задач, в которых не требуется высокая точность решения и где решение необходимо лишь в отдельных точках области, а в случае алгоритмов RWB - задачами для выпуклых областей [1], [2]. В наших недавних работах нам удалось разработать алгоритмы, основанные на методах случайных блужданий, способные решать такие задачи с уровнем точности, недостижимым для традиционных методов Монте-Карло [3-5]. Ключевая идея заключается в объединении алгоритмов случайных блужданий с методами итерационного уточнения решения. Такой гибридный алгоритм не только обеспечивает получение высокоточных решений, но и позволяет с высокой точностью решать краевые задачи во всей области, а не только в отдельных её точках. Как оказалось, такой подход применим и к решению задач переноса излучения, решению больших систем линейных алгебраических уравнений, и многих других задач, где базовый метод Монте-Карло позволяет рассчитывать все поле решений, пусть и с небольшой точностью, характерной для этого метода. В данном докладе будет изложен гибридный алгоритм метода Монте-Карло с оценками скорости сходимости и погрешности, и дан обзор применения данного метода к решению линейных алгебраических и интегральных уравнений, а также к решению краевых задач методами случайных блужданий из классов RWB и RWS, а также к решению задач радиационного излучения. Отметим, что применение высокоточных алгоритмов метода Монте-Карло открывает новые возможности и для решения нелинейных уравнений, на которых мы также остановимся в данном докладе.
Работа поддержана РНФ, грант 24-11-00107.
[1] K. K. Sabelfeld and N. A. Simonov, Stochastic Methods for Boundary Value Problems. Numerics for High-Dimensional PDEs and Applications, De Gruyter, Berlin, 2016.
[2] K.K. Sabelfeld and I.A. Shalimova, Spherical and Plane Integral operators for PDEs, De Gruyter, Berlin, 2013.
[3] Sabelfeld K.K., Kireeva A.E. Randomized iterative linear solvers with refinement for large dense matrices. Monte Carlo Methods and Applications, v.29, issue 4 (2023), 357-378.
[4] K.K. Sabelfeld and G.Agarkov, Monte Carlo Methods and Applications, 31(2) (2025), 145-162.
[5] K. Sabelfeld, G.Agarkov. J.Comp.Physics, submitted, 2026.
